旋转矩阵是正交矩阵与伴随性质的证明
正交矩阵
正交矩阵的定义如下：如果
\[ AA^T = E \]
其中E为单位矩阵，则称n阶实矩阵A为正交矩阵。
所以正交矩阵的性质如下： 1. 正交矩阵的每一列、行都是单位向量，并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。
- 正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置。由此可以推断出正交矩阵的行列式的值肯定为正负1。
所有的矩阵都可以看成一种变换。正交矩阵的变换可以看成，如果作用在一组空间基向量上，它会将一组空间基向量(单位正交的)变换成另外一组空间基向量（还是单位正交的）。
向量与坐标
对于三维空间中的任意一个向量\(a\)，它在一组基\(\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\)下的表示如下：
\[ \boldsymbol{a}=\left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right]\left[\begin{array}{c}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right]=a_{1} e_{1}+a_{2} \boldsymbol{e}_{2}+a_{3} \boldsymbol{e}_{3} \]
两个向量\(a,b\)的内积可以写成：
\[ a \cdot b=a^{\mathrm{T}} b=\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \]
外积写成：
\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left\|\begin{array}{ccc}{\boldsymbol{e}_{1}} & {\boldsymbol{e}_{2}} & {\boldsymbol{e}_{3}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}\end{array}\right\|=\left[\begin{array}{cc}{a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}} \\ {a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}} \\ {a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-a_{3}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {0} & {-a_{1}} \\ {-a_{2}} & {a_{1}} & {0}\end{array}\right] \boldsymbol{b} \triangleq \boldsymbol{a}^{\wedge} \boldsymbol{b} \]
其中\(\boldsymbol{a}^{\wedge}\)是向量\(a\)对应的反对称矩阵：
\[ \boldsymbol{a}^{\wedge}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-a_{3}} & {a_{2}} \\ {a_{3}} & {0} & {-a_{1}} \\ {-a_{2}} & {a_{1}} & {0}\end{array}\right] \]
旋转矩阵(是正交矩阵的证明)
旋转矩阵，对应了一种变换，在三维空间中，这种变换可以看成将空间中物体绕一条轴旋转一定角度。很容易发现，这是一种正交矩阵。
证明的话，可以按照如下思路。
首先对于一组单位正交基\(\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\)经过一次旋转变换后变成了\(\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)\)
那么，对于同一个向量\(a\)(没有随着坐标系的旋转而发生运动)，所以会有如下等式成立，其中两个竖向量分别是\(a\)在两个单位正交基下的坐标：
\[ \left[e_{1}, e_{2}, e_{3}\right]\left[\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right]=\left[e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right]\left[\begin{array}{c}{a_{1}^{\prime}} \\ {a_{2}^{\prime}} \\ {a_{3}^{\prime}}\end{array}\right] \]
- 上述公式左右同时左乘\(\left[\begin{array}{c}{e_{1}^{\mathrm{T}}} \\ {e_{2}^{\mathrm{T}}} \\ {e_{3}^{\mathrm{T}}}\end{array}\right]\)，我们会得到如下公式，其中\(R\)是这次旋转变换对向量\(\left[a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, a_{3}^{\prime}\right]^{\mathrm{T}}\)的变换矩阵。
\[ \left[\begin{array}{c}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{e_{1}^{\mathrm{T}} e_{1}^{\prime}} & {e_{1}^{\mathrm{T}} e_{2}^{\prime}} & {e_{1}^{\mathrm{T}} e_{3}^{\prime}} \\ {e_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\prime}} & {\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}} & {\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{3}^{\prime}} \\ {\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\prime}} & {\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}} & {\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{3}^{\prime}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a_{1}^{\prime}} \\ {a_{2}^{\prime}} \\ {a_{3}^{\prime}}\end{array}\right] = \boldsymbol{R} a^{\prime} \]
此处，矩阵\(R\)由两组基之间的内积组成，刻画了前后同一个向量经过一次旋转变换的坐标变换关系。因此，这个\(R\)就是一个旋转矩阵（只有两个正交基不变，它就不变）。这个矩阵按列看，是第二组基向量在第一组中的坐标表示，按行看，是第一组基向量在第二组中的坐标表示。它们肯定是相互正交的。
我们可以很清楚的发现，旋转矩阵R是一个正交矩阵。因为，如果将矩阵\(R\)转置，其实刚好就是一个\(R\)的逆操作，将两组正交基顺序交换了。
伴随性质的证明
对任意的旋转矩阵\(\bf R\)和三维向量\(\bf v\)，都有\(({\bf R v})^{\land} = {\bf Rv^{\land}R}^{T}\)
这个性质经常在机器人动力学中使用很频繁。今天不小心看到一个证明，于是记录一下。
此处需要把\(()^{\land}\)运算符转换成叉乘。我们知道，对于任意\({\bf v,u} \in \mathbb{R}^3\)，总有\({\bf v}^{\land}{\bf v \times u}\)。于是：
\[ \begin{aligned} &(\mathbf{R} \mathbf{v})^{\wedge}=\mathbf{R} \mathbf{v}^{\wedge} \mathbf{R}^{T} \\ \Leftrightarrow &(\mathbf{R} \mathbf{v})^{\wedge} \mathbf{R}=\mathbf{R} \mathbf{v}^{\wedge} \\ \Leftrightarrow & \forall \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3},(\mathbf{R} \mathbf{v})^{\wedge} \mathbf{R} \mathbf{u}=\mathbf{R} \mathbf{v}^{\wedge} \mathbf{u} \\ \Leftrightarrow & \forall \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3},(\mathbf{R} \mathbf{v}) \times(\mathbf{R} \mathbf{u})=\mathbf{R}(\mathbf{v} \times \mathbf{u}) \end{aligned} \]
所以上面是一直等价的（倒数第二个式子到最后一个式子等价，因为矩阵乘法满足结合律），我们只需要证明最后一个式子即可，最后一个式子通过利用向量叉乘的旋转变换不变性（参照Wikipedia）。
其实最后一个式子很好理解，对于任意\({\bf v,u} \in \mathbb{R}^3\)，它们是任意三维向量，将他们经过同一个旋转，它们的相对位姿与模长都不会改变，所以\(\bf Rv\)与\(\bf Ru\)的叉乘仍然是相对它们垂直、大小也不变的三维向量。
旋转向量与旋转矩阵的指数映射
指数映射的数学意义就是罗德里杰斯公式。
对于一个旋转向量a，其对应的矩阵是\(R_a\)，则有：
指数映射：\(exp(\mathbf{a}^{\wedge}) = R_a\)
这个由叉乘时向量转矩阵形式决定，\((\mathbf{a}^{\wedge})^T = - \mathbf{a}^{\wedge}\)
这个右叉乘交换性质决定： \(\mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{b} = - \mathbf{b}^{\wedge} \mathbf{a}\)
矩阵叉乘性质：\(R w^{\wedge} R ^{T} = (Rp)^{\wedge}\)
SO(3)的伴随性质： \(\mathbf{R}^{T} \exp \left(\boldsymbol{\phi}^{\wedge}\right) \mathbf{R}=\exp \left(\left(\mathbf{R}^{T} \boldsymbol{\phi}\right)^{\wedge}\right)\)
扰动模型1
\[ \ln \left(\mathbf{R} \exp \left(\phi^{\wedge}\right)\right)^{\vee}=\ln (\mathbf{R})^{\vee}+\mathbf{J}_{r}^{-1} \boldsymbol{\phi} \]
- BCH公式
\[ R_1 R_2 = \textbf{exp}({\phi_1}^{\wedge})\textbf{exp}({\phi_2}^{\wedge}) \approx \begin{equation} \begin{cases} \textbf{exp}(( J_l(\phi_2)^{-1} \phi_1 + \phi_2 )^{\wedge}) & \textbf{if } \phi_1 \textbf{ is small}\\ \textbf{exp}(( J_r(\phi_1)^{-1} \phi_2+ \phi_1 )^{\wedge}) & \textbf{if } \phi_2 \textbf{ is small} \end{cases} \end{equation} \]