理解齐次坐标
齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）是计算机视觉与图形学中的一个重要的数学工具。
齐次坐标的引入
在欧式空间里，两条公面的平行线无法相交，但是在投影空间(Projective Space)里不是这样。一个直观的表示如下：两条轨道的间距随着视线变远而逐渐变小，直到在无限远处相交。
在欧式空间里采用\((x, y, z)\)表示一个三维点，但是无穷远点\((\infty, \infty, \infty)\)在欧式空间里是没有意义的，在投影空间中进行图形和几何运算并不是一个简单的问题，为了解决这个问题，数学家 August Ferdinand Möbius 提出了齐次坐标系，使用 N+1 个量来表示 N 维坐标。例如在二维齐次坐标系中，我们引入一个量w，将一个二维点\((x, y)\)重新表示为\((X, Y, w)\)的形式，其中转换关系为：
\[ x = \frac{X}{w} \]
\[ y = \frac{Y}{w} \]
例如，欧式坐标中的一个二维点\((1, 2)\)可以在齐次坐标中表示为\((1, 2, 1)\)，如果点逐渐移动向无穷远处，其欧式坐标变为\((\infty, \infty, \infty)\)，齐次坐标变为\((1, 2, 0)\)。其中齐次坐标在表示无穷远处的点时不需要用到\(\infty\)。
其中齐次坐标\((1, 2, 1)\)等价于齐次坐标\((2, 4, 2)\)...即\((k, 2k, k)，k \in R\)，此处这些点具有尺度不变性，是齐性的，所以称为齐次坐标
照片中平行线相交的不太严格的证明
欧式空间中假设有如下两条平行线:
\[ Ax + By + C = 0 \]
\[ Ax + By + D = 0 \]
上面两条先在欧式空间中除非\(C = D\)，否则不相交。使用\(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}\)替换\(x, y\)(正如前文提到的使用\(N+1\)个量表示N维坐标，这里增加了一个量w)，可以得到：
\[ Ax + By + Cw = 0 \]
\[ Ax + By + Dw = 0 \]
上式可以得到解\((x, y, 0)\)，即两条平行线的齐次坐标表示在\((x, y, 0)\)也就是无穷点处相遇
当然这只是一个不严格不严谨的表示，齐次坐标真正的作用在于下文。
齐次坐标可以区分点与向量
以二维空间为例，\((a, b)\)这样的表示既可以是一个坐标表示，也可以是一个向量表示。假设这个坐标系\(xOy\)中两个基向量为\(\vec{x}, \vec{y}\)，坐标原点为o，则其中 - 表示向量\(\vec{v}\)时，代表\(\vec{v} = a\vec{x} + b\vec{y}\) - 表示一个点p时，代表\(p - o = a\vec{x} + b\vec{y}\)
如果没有附加说明，我们不能区别\((a, b)\)表示的是向量还是点。用三个量来表示的化，我们可以明确的区分向量和点 - 齐次点\((a, b, 1)\) - 齐次向量\((a, b, 0)\)
齐次坐标更易描述仿射变换
一个二维点的仿射变换可以用一个矩阵乘法(线性变换)与一个矩阵加法(平移变换)的叠加来表示： - 矩阵乘法可以表示线性变换，线性变换可以表示旋转变换或者缩放变换（不局限于表示这两种）
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y \end{array} \right]\]
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y \end{array} \right] \]
- 矩阵加法可以表示平移变换（不局限于表示平移）
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} t_x\\ t_y \end{array} \right] \]
如上，我们发现原本的平移变换不能用矩阵相乘的形式表达。在引入齐次坐标后（具有尺度不变性，实际上在高一维的空间映射到\(w=1\)平面后的结果可直接导出到欧式空间） - 旋转变换和尺度变换
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y'\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y \\ 1 \end{array} \right]\]
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y'\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y\\ 1 \end{array} \right] \]
- 平移变换
\[ \left[ \begin{array}{ccc} x'\\ y'\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y\\ 1 \end{array} \right] \]
- 这样，我们可以导出整个仿射变换的矩阵形式
\[ T = \left[ \begin{array}{ccc} A & t \\ O_{1*2} & 1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x\\ y\\ 1 \end{array} \right] \]
仿射变换保留了点的共线、共面、比例等关系，是图形处理中十分重要的一环。而齐次坐标的引入使得仿射变换能够以一种紧凑统一的矩阵形式表示和计算。
总结
齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确的区分向量和点，同时也更易于进行仿射几何变换。 —— F.S.Hill Jr.《计算机图形学(OpenGL版)》
参考资料
- [1] 《计算机图形学(OpenGL版)》- F.S.Hill Jr.
- [2] 《Computer Vision: Algorithms and Applications》- Richard Szeliski
- [3] https://oncemore.wang/blog/homogeneous/